今年信息学奥赛初赛提高组，阅读程序写结果的第一题如下：
PROGRAM GAO7_1;
FUNCTION ACK(M,N:INTEGER):INTEGER;
BEGIN
IF M=0 THEN ACK:=N+1
ELSE IF N=0 THEN ACK:=ACK(M-1,1)
ELSE ACK:=ACK(M-1,ACK(M,N-1))
END;
BEGIN WRITELN(ACK(3,4));READLN;END.
分析这个程序我们可以用下面的函数表示：

学生在解题时，一般都是用递归的方法去实现的，而递归方法将会计算五千多步，在竞赛时这种方法是不可用的，而递归往往可以用递推去实现，因此，我们在教学过程中就讲解了该函数的递推过程，现将推导过程表示如下：
（1） 我们在递归过程中发现该函数总是要调用到M＝0，M＝1及M＝2的情况，因此，我们就考虑要推导ACK（3，N）必须首先推导ACK（0，N），ACK（1，N）以及 ACK（2，N）的情况。
（2） ACK（0，N）可以由函数直接得到，公式为ACK（0，N）＝N＋1
（3） ACK（1，0）＝ACK（0，1）＝1＋1＝0＋2
ACK（1，1）＝ACK（0，ACK（1，0））＝ACK（0，1＋1）＝1＋1＋1＝1＋2
ACK（1，2）＝ACK（0，ACK（1，1））＝ACK（0，1＋2）＝1＋1＋2＝2＋2
…………………
因此，我们可以联想到ACK（1，N）＝N＋2。
这个公式可以用数学归纳法证明之。（略）
根据上面的方法，我们可以方便地推导出下面一些公式：
（4） ACK（2，0）＝ACK（1，1）＝1＋2＝3（利用M＝1的公式）
ACK（2，1）＝ACK（1，ACK（2，0））＝ACK（1，1＋2）＝3＋2＝5
（利用M＝1的公式及ACK（2，0））
ACK（2，2）＝ACK（1，ACK（2，1））＝ACK（1，5）＝5＋2＝（2＋1）＊2＋1
…………………
因此，我们可以联想到ACK（2，N）＝（N＋1）＊2＋1。
同样，这个公式可以用数学归纳法证明之。（略）
（5） ACK（3，0）＝ACK（2，1）＝(1+1)*2+1=5（利用M＝2的公式）
ACK（3，1）＝ACK（2，ACK（3，0））＝ACK（2，5）＝（(1+1)*2+1＋1）＊2＋1＝2^3+2^2+1
ACK（3，2）＝ACK（2，ACK（3，1））＝ACK（2，13）＝（2^3+2^2+1＋1）＊2+1=2^4+2^3+2^2+1
=2^5-3
…………………
因此，我们可以联想到ACK（3，N）＝2^(N+3)－3。