首先，例举一个典型的且很直观的多阶段决策问题:
[例] 下图表示城市之间的交通路网，线段上的数字表示费用，单向通行由A->E。试用动态规划的最优化原理求出A->E的最省费用。

如图从A到E共分为4个阶段，即第一阶段从A到B，第二阶段从B到C，第三阶段从C到D，第四阶段从D到E。除起点A和终点E外，其它各点既是上一阶段的终点又是下一阶段的起点。例如从A到B的第一阶段中，A为起点，终点有B1，B2，B3三个，因而这时走的路线有三个选择，一是走到B1，一是走到B2，一是走到B3。若选择B2的决策，B2就是第一阶段在我们决策之下的结果，它既是第一阶段路线的终点，又是第二阶段路线的始点。在第二阶段，再从B2点出发，对于B2点就有一个可供选择的终点集合(C1，C2，C3)；若选择由B2走至C2为第二阶段的决策，则C2就是第二阶段的终点，同时又是第三阶段的始点。同理递推下去，可看到各个阶段的决策不同，线路就不同。很明显，当某阶段的起点给定时，它直接影响着后面各阶段的行进路线和整个路线的长短，而后面各阶段的路线的发展不受这点以前各阶段的影响。故此问题的要求是：在各个阶段选取一个恰
当的决策，使由这些决策组成的一个决策序列所决定的一条路线，其总路程最短。

动态规划为此类多阶段决策问题寻求了一种简便的方法。为了便于讨论，我们先引入动态规划问题的一些概念、术语和符号。

名词解释：
（1）决策和阶段
在对问题的处理中作出某种选择性的行动就是决策。例如在且点需选择下一步到B1还是到B2，这就是一次决策。一个实际问题可能要有多次决策或多个决策点，为此对整个问题，可按其特点划分成需要作出选择的若干轮次，这些轮次即称为阶段。如图中，从A到E共分为4个阶段，即第一阶段从A到B，第二阶段从B到C，第三阶段从C到D，第四阶段从D到E。
（2）状态和状态变量

某一阶段的出发位置称为状态。通常一个阶段包含若干状态。例如阶段3含有3种状态C1，C2，C3。状态通常可有一个变量来描述，用来描述状态的变量称为状态变量，记第K阶段的状态变量为U_k。例如U₃={C1，C2，C3}。
（3）决策变量和允许决策集合

在每一个阶段中都需有一次决策，决策也可以用一个变量来描述，称这种变量为决策变量，一般用X_k表示第K阶段的决策变量。在实际问题中，决策变量的取值往往限制在某一个范围之内，此范围称为允许决策集合，用S_k表示第K阶段的允许决策集合。例如，S₃={D1，D2}，它表示第三阶段可有两种不同的决策。那么X_k与S_k
之间的关系是U_K+1=X_k（U_k）。当第K阶段的状态确定之后，可能作出的决策范围还要受到这一状态的影响，这就是说，决策变量X_k是状态变量U_k的函数，记为X_k（U_k），简记为X_k。把X_k的取值范围记为S_k(U_k)，显然有X_k(U_k)∈S_k(U_k)。
例如在图的第三阶段中，若从状态C1出发，就可作出二种不同的决策，其允许决策集合S₃(C1)={D1，D2}。若选取的点是D2，则D2是状态C1在决策X₃(C1)作用下的下个新的状态，记作X₃(C1)=D2。

（4）策略和最优策略

所有阶段依次排列构成问题的全过程。全过程中各阶段决策变量X_k(U_k)所组成的有序总体称为策略。在实际问题中，可供选择的策略有一定的范围，该范围称为允许策略集合P。从P中找出最优效果的策略称为最优策略。

（5）状态转移方程

前一阶段的终点就是后一阶段的起点，前一阶段的决策变量就是后一阶段的状态变量，这种关系描述了由K阶段到K十1阶段状态的演变规律，称为状态转移方程。如上图的状态转移方程为U_K+1=X_k（U_k）。
（6）动态规划的函数基本方程
为了帮助大家理解动态规划的基本思想，先说最短路线的一个重要特性：如果从A->B->C->D是A至D的最短路线，那么从B到D的最短路线必是B->C->D。更一般地说:如果最短路线在第K阶段通过P_k，则由点P_k出发到达终点的这条路线对于从P_k出发到达终点的所有可能选择的不同路线来说，必定也是最短路线。
这就引出了从终点逐段向始点方向寻找最短路线的一种方法：
若以U_k表示第K阶段的一个决策点，从终点开始，依逆向求出倒数第一阶段、倒数第二阶段、倒数第三阶段、……、倒数第N-1阶段中各点到达终点的最短路线。最终求出从起点到终点的最短路线。这就是动态规划的基本思想。
下面，我们按照动态规划的方法将上例从最后一段开始计算，由终点E向前逐步倒推至起点A。
设U_k表示第K阶段的一个决策点，F_k（U_k）表示从第K阶段中的点U_k到达终点的最短路线的长度，S_k（X_k，U_k）表示第K阶段中X_k到U_k的距离。
（当K=5时，F₅（E）=0）
当K=4时，F₄（D1）=5，F₄（D2）=2。
当K=3时，
F₃（C1）=min[S₃（C1，D1）+F₄（D1），S₃（C1，D2）+F₄（D2）]=min[8，11]=8。
F₃（C2）=min[S₃（C2，D1）+F₄（D1），S₃（C2，D2）+F₄（D2）]=min[7，11]=7。
F₃（C3）=min[S₃（C3，D2）+F₄（D2）]=min[12]=12。
当K=2时，
F₂（B1）=min[S₂（B1，C1）+F₃（C1），S₂（B1，C2）+F₃（C2）]=min[20，21]=20。
F₂（B2）=min[S₂（B2，C1）+F₃（C1），S₂（B2，C2）+F₃（C2），S₂（B2，C3）+F₃（C3）]
            =min[14，17，16]=14。
F₂（B3）=min[S₂（B3，C1）+F₃（C1），S₂（B3，C2）+F₃（C2），S₂（B3，C3）+F₃（C3）]
            =min[21，19，23]=19。
当K=1时，
F₁（A）=min[S₁（A，B1）+F₂（B1），S₁（A，B2）+F₂（B2），S₁（A，B3）+F₂（B3）]
            =min[22，19，20]=19。
其中X₁（A）=B2，X₂（B2）=C1，X₃（C1）=D1，X₄（D1）=E 组成一个最优策略。路线  A->B2->C1->D1->E  为从A到E的最短路线。最短路线长19。
从上面的计算过程中，我们可以看出，在求解的各个阶段，我们利用了K阶段与K+1阶段之间的如下关系：
     F_k（ U_k）=min[S_k（U_k，X_k）+F_k+1（X_k）]       k=4，3，2，1
     F₅（ U₅）=0
这种递推关系，叫做动态规划的函数基本方程。
动态规划的最优化原理是“作为整个过程的最优策略具有这样的性质:无论过去的状态和决策如何，对前面的决策所形成的状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。”
与穷举法相比，动态规划的方法有两个明显的优点:
(1)大大减少了计算量
(2)丰富了计算结果
从上例的求解结果中，我们不仅得到由A点出发到终点E的最短路线及最短距离，而且还得到了从所有各中间点到终点的最短路线及最短距离，这对许多实际问题来讲是很有用的。

动态规划的最优化概念是在一定条件下，我到一种途径，在对各阶段的效益经过按问题具体性质所确定的运算以后，使得全过程的总效益达到最优。